自然對數

e的含義是單位時間內「增長的極限」；或說是。(e is the base rate of growth shared by all continually growing processes.)

e是個常數，是個無理數(無限不循環小數)，e定義有下面三種:

1. 定義下面數列的極限值為 e:

2. 我們先定義對數函數

則自然對數 ln x 的底數, 我們就定義為 e. 即

3. 定義指數函數

其中 0! = 1. 則 x = 1 代入可以得到

自然對數e是「增長的極限」。這裡用複利的觀念解釋：

假設本金為 1單位

1 單位，並以複利的方式計算。

若利率為 100%，那麼 1 年後本利和為 (1+1)1=2。

若改成半年支付一次利息，則利率減半為 12⋅100%。
那麼，1 年後本利和為：(1+12)2=94=2.25

若改成四個月支付一次利息，則利率變為 13⋅100%。
那麼，1 年後本利和為：(1+13)3=6427≈2.370…

若改成三個月支付一次利息，則利率變為 14⋅100%。
那麼，1 年後本利和為：(1+14)4=625256≈2.441…

⋯

以此類推，當利率變成原本的 1n，支付次數變成 n 次，則 1 年後本利和為：(1+1n)n

如此，我們可或得一個數列〈(1+1n)n〉，其中 n 為自然數。

計算並觀察數列的前四項後可發現：a1=2, a2=2.25, a3=2.370…, a4=2.441…

也許你會猜測，這個數列各項越來越大，但它有可能無止盡地變大增加嗎？

若我們再繼續計算下去，可以發現下列近似值：

n          (1 + 1/n)^n
-----------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804
...

眼尖的讀者可能會發現，它成長「變大」的趨勢越來越緩慢，當 n 很大時，它幾乎快要「不動」，試試下面的計算：

The numbers get bigger and converge around 2.718. Hey… wait a minute…

In geeky math terms, e is defined to be that rate of growth if we continually compound 100% return on smaller and smaller time periods:

$\displaystyle{\text{perfect compound growth} = e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}$

This limit appears to converge, and there are proofs to that effect. But as you can see, as we take finer time periods the total return stays around 2.718.